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数学解题中的阅读理解

摘要: 阅读理解类试题是近几年出现的一种新题型,这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规,源于课本,高于课本。

特征是:题目以图、表或文字等不同形式给出了阅读材料或范例,让同学们从中获取有关知识、信息,总结解题思路、规律。这类问题既考查了同学们对数学知识的理解水平和对数学方法的运用水平,同时也考查了同学们分析与推理、数据处理、文字概括、书面表达、知识迁移、随机应变等方面的能力,所以同学们在平时的学习中,要学会自学、善于思考,乐于合作,勤于归纳。

“阅读——分析——理解——创新应用”是求解阅读理解类型试题的基本步骤。其中认真阅读材料是正确求解的前提条件;全面分析、合情推理、猜想归纳、理解材料是难点点;关键是把握材料本质,在理解的基础上提取有用的数学信息;应用相关信息,回答题中问题自然是解题的重点。

1.考查解题思维过程的阅读理解题。

例1、(2007青海)先阅读,再填空解答:

方程的根是:,,则,;

方程的根是:,,则,.

(1)方程         ,         ,

则             ,           ;

(2)若是关于的一元二次方程(,且为常数)的两个实数根,那么,与系数的关系是:             ,           ;

(3)如果是方程的两个根,根据(2)所得结论,求的值.

【思路点拨】本题需要在阅读后正确理解思想方法,把题目提供的方法及解题过程步骤化,模拟材料提供的方法去解答与其类似的相关问题。

解:(1),,,

(2),

(3)解:根据(2)可知:,.

则.

【规律总结】言之有据,言必有据,这是正确解题的关键所在,是提高数学素质的前提,教学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础。这类试题就是为检测解题者理解解题过程、掌握基本数学思想方法和辨别是非的能力而设置的。

2.考查纠正错误挖病能力的阅读理解题

例2.阅读下列题目的解题过程:

已知a、b、c为的三边,且满足,试判断的形状。

问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:         ;

(2)本题正确的结论为:

【思路点拨】命题者抓住学生中的薄弱环节和思维漏洞,“刻意”地制造迷惑,使得解答过程似是而非,目的是检测学生对数学公式、法则、方法和数学思想的掌握情况和辨别是非的能力。“言之有理,言必有据”是辨别真伪、正确解题的关键。

解;(1)C

(2)△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。

【规律总结】理解基本概念不是拘泥于形式的死记硬背,而是要把握概念的内涵或实质,理解概念间的相互联系,形成知识脉络,从而整体地获取知识。这类试题意在检测解题者对知识的理解以及认识问题和解决问题的能力。

3.考查归纳、探索规律能力的阅读理解题

例3. (2008盐城)阅读理解:

对于任意正实数a、b,0, ∴0

,只有当a=b时,等号成立.

结论:在(a、b均为正实数)中,若ab为定值p,则a+b≥,只有当a=b时,a+b有最小值.

根据上述内容,回答下列问题:

若m>0,只有当m= ▲   时 ▲   .

思考验证:如图1,AB为半圆O的直径,C为半圆上任意一点(与点A、B不重合),过点C作CD⊥AB,垂足为D,

AD=a,DB=b.

试根据图形验证,并指出等号成立时的条件.

探索应用:如图2,已知A(-3,0),B(0,-4),P为双曲线(x>0)上的任

意一点,过点P作PC⊥x轴于点C,PD⊥y轴于点D.求四边形ABCD面积的最小值,并说明此时四边形ABCD的形状.

【思路点拨】此类题求解,应先读懂阅读材料所提供的方法,再结合图形模仿这种方法继续求解,并对得出的结果加以分析、归纳总结。本题体现从特殊到一般研究数学问题的方法,对观察、分析、类比、猜想、探究等能力作了很好的考查,是一道设计独特的好题。

解:阅读理解:m= 1 (填不扣分),最小值为 2 ;

思考验证:∵AB是的直径,∴AC⊥BC,又∵CD⊥AB,

∴∠CAD=∠BCD=90°-∠B,

∴Rt△CAD∽Rt△BCD,   CD2=AD·DB,    ∴CD=

若点D与O不重合,连OC,在Rt△OCD中,∵OC>CD, ∴,

若点D与O重合时,OC=CD,∴

综上所述,,当CD等于半径时,等号成立.

探索应用:设,则,,

,化简得:

,只有当

∴S≥2×6+12=24,

∴S四边形ABCD有最小值24.

此时,P(3,4),C(3,0),D(0,4),AB=BC=CD=DA=5,∴四边形ABCD是菱形.

【规律总结】对材料信息的加工、提炼和运用,对规律的归纳和发现能反映出一个人的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力。这类试题意在检测解题者的数学能力以及驾驭数学的创新意识和才能.

4.考查掌握新知识应用能力的阅读理解题

例4. 2008镇江

阅读以下材料:

对于三个数,用表示这三个数的平均数,用表示这三个数中最小的数.例如:

;;

解决下列问题:

(1)填空:        ;

如果,则的取值范围为,求;

②根据①,你发现了结论“如果,那么         (填的大小关系)”.证明你发现的结论;

③运用②的结论,填空:

若,

则       .

(3)在同一直角坐标系中作出函数,,的图象(不需列表描点).通过观察图象,

填空:的最大值为         .

【思路点拨】面对一个新的概念,阅读时至关重要的是设法用自己的语言去表述它,并与熟悉的相关数学知识挂靠,把一个全新的问题化归为一个比较熟悉的问题去处理。

解:(1)(填也得分);

(2)①.

方法一:.

当时,则,则,.

当时,则,则,(舍去).

综上所述:.

法二:,

.

证明:,

如果,则,.

则有,即.

.

又,.且.

.

其他情况同理可证,故.

(3)作出图象.

【规律总结】

(1) 命题者给定一个陌生的定义或公式或方法,让你去解决新问题,这类考题能考查解题者自学能力和阅读理解能力,能考查解题者接收、加工和利用信息的能力。

(2) 解阅读新知识,应用新知识的阅读理解题时,首先做到认真阅读题目中介绍的新知识,包括定义、公式,表示方法及如何计算等,并且正确理解引进的新知识,读懂范例的应用;其次,根据介绍的新知识、新方法进行运用,并与范例的运用进行比较,防止出错。

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